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CMC Tori中的Berger球及其双重
CMC Tori in the Generalised Berger Spheres and their Duals
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论文摘要
由于重要的应用，对最小表面的研究具有悠久的历史。鉴于固定的边界，人们希望最大程度地减少表面积：例如，可以将其最小化，以最大程度地减少建筑物的屋顶区域。同样，寻找恒定的平均曲率（CMC）为我们提供了许多有趣的物理应用：最简单的例子之一是肥皂泡。但是，在这项工作中，我们在三维球体$ s^3 $及其双空间$σ^3 $中以最小和恒定的平均曲率表面占据自己。 在第1章中，我们简要概述了我们将使用的Riemannian和Lorentzian几何形状的工具。然后，我们仔细研究$ s^3 $，计算其Levi-Civita连接和截面曲线：在第2章中，关于Riemannian Metric g，以及第4章在Lorentzian Metric H中。此外，我们在第3章中确定了内部（$ s^3 $，g）内部（$ s^3 $，g）以及第5章中（$ s^3 $，h）的一些最小和CMC。 然后，我们继续进行$ s^3 $的双空间$σ^3 $。在第6章中，我们计算了相对于G的Levi-Civita连接和截面曲率，以及第8章中的H。我们再次在第7章中（$σ^3 $，g）中的某个家庭的最小和CMC Tori在第9章中（$σ^3 $，H）中的（$σ^3 $ g）。 在附录中，读者将找到一个枫树程序。它写成的是为了检查$ s^3 $ case的计算，但可以很容易地适应$σ^3 $。
The study of minimal surfaces has a long history, due to the important applications. Given a fixed boundary, one wants to minimise the surface area: this can be used, for example, to minimise the area of the roof of a building. Similarly, looking for constant mean curvature (CMC) provides us with many interesting applications in physics: one of the easiest examples are soap bubbles. In this work however we occupy ourselves with minimal and constant mean curvature surfaces in the three-dimensional sphere $S^3$ and its dual space $Σ^3$. In Chapter 1 we give a brief overview of the tools of Riemannian and Lorentzian geometry that we will use. We then take a closer look at $S^3$, computing its Levi-Civita connection and sectional curvatures: in Chapter 2 with respect to the Riemannian metric g and in Chapter 4 with respect to the Lorentzian metric h. Further, we determine some minimal and CMC tori inside ($S^3$, g) in Chapter 3 and in ($S^3$, h) in Chapter 5. We then proceed with the dual space $Σ^3$ of $S^3$. In Chapter 6, we calculate the Levi-Civita connection and sectional curvatures with respect to g, and with respect to h in Chapter 8. Again we look for minimal and CMC tori of a certain family in ($Σ^3$, g) in Chapter 7 and in ($Σ^3$, h) in Chapter 9. In the appendix, the reader will find a Maple program. It was written to check the computations of the $S^3$ cases, but it can easily be adapted to$Σ^3$.
