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有关截短超几何序列的一些超级企业的证明
Proof of some supercongruences concerning truncated hypergeometric series
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论文摘要
在本文中，我们证明了一些有关截短的超几何序列的超级企业。例如，我们表明，对于任何prime $ p> 3 $和积极整数$ r $，$$ \ sum_ {k = 0}^{p^r-1}（3k+1）\ frac {（\ frac12）_k^3} {（1） p^r+\ frac76p^{r+3} b_ {p-3} \ pmod {p^{p^{r+4}} $$和$$ \ sum_ {k = 0}^{（p^r-1）/2}（p^r-1）/2}（4K+1）（4K+1） p^r+\ frac76p^{r+3} b_ {p-3} \ pmod {p^{p^{r+4}}，$$其中$（x）_k = x（x+1）\ cdots（x+k-1）$是pochhammer符号，pochhammer符号和$ b_0，b_0，b_1，b_1，b_1，b_1，b_2，b_2，bernivel $ berni berni berni berni berni berni。这两个一致性证实了太阳的猜想[Sci。中国数学。 54（2011），2509--2535]和Guo [Adv。应用。数学。 120（2020），艺术。 102078]。
In this paper, we prove some supercongruences concerning truncated hypergeometric series. For example, we show that for any prime $p>3$ and positive integer $r$, $$ \sum_{k=0}^{p^r-1}(3k+1)\frac{(\frac12)_k^3}{(1)_k^3}4^k\equiv p^r+\frac76p^{r+3}B_{p-3}\pmod{p^{r+4}} $$ and $$ \sum_{k=0}^{(p^r-1)/2}(4k+1)\frac{(\frac12)_k^4}{(1)_k^4}\equiv p^r+\frac76p^{r+3}B_{p-3}\pmod{p^{r+4}}, $$ where $(x)_k=x(x+1)\cdots(x+k-1)$ is the Pochhammer symbol and $B_0,B_1,B_2,\ldots$ are Bernoulli numbers. These two congruences confirm conjectures of Sun [Sci. China Math. 54 (2011), 2509--2535] and Guo [Adv. Appl. Math. 120 (2020), Art. 102078], respectively.
