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平均值零函数在尺寸二
A singular Moser-Trudinger inequality for mean value zero functions in dimension two
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论文摘要
令$ω\ subset \ mathbb {r}^2 $为平滑的有限域，$ 0 \ in \partialΩ$。在本文中，我们证明了（0,1）$的任何$β\ the w^{1,2}}（u \ in w^{1,2}（ω），\int_Ωudx = 0，\int_Ω u^2}}} {| x |^{2β}} dx $$是有限的，可以实现。这部分概括了爱丽丝·昌（Alice Chang）和保罗·杨（Paul Yang）（J. DinialialGeom。27（1988），第2、259-296号）的著名作品，他们在$β= 0 $时获得了不平等。
Let $Ω\subset\mathbb{R}^2$ be a smooth bounded domain with $0\in\partialΩ$. In this paper, we prove that for any $β\in(0,1)$, the supremum $$\sup_{u\in W^{1,2}(Ω), \int_Ωu dx=0, \int_Ω|\nabla u|^2dx\leq1}\int_Ω\frac{e^{2π(1-β) u^2}}{|x|^{2β}}dx$$ is finite and can be attained. This partially generalizes a well-known work of Alice Chang and Paul Yang (J. Differential Geom. 27 (1988), no. 2, 259-296) who have obtained the inequality when $β=0$.
