论文标题
Sup-Convolution的尖锐L1不平等现象
Sharp L1 Inequalities for Sup-Convolution
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论文摘要
给定一个紧凑的凸域$ c \ subset \ mathbb {r}^k $和有界的可测量函数$ f_1，\ ldots，f_n：c \ to \ to \ mathbb {r} $，定义sup-convolution $（f_1 \ ast \ ast \ ast \ ast \ ldots \ as s f_n） $ f_1（x_1），\ ldots，f_n（x_n）$上的所有$ x_1，\ ldots，x_n \ in c $，平均为$ z $。继续进行Figalli和Jerison的研究，以及现有的线性稳定性作者Brunn-Minkowski不平等，以相等的设置，对于$ k \ le 3 $，我们找到了最佳常数$ c_ {k，n} $，因此，$ c_ {k，n} $，以便$ \ int_c f^{\ ast n} n}（x） - x） - x） - x \ ge（x）-f（x）-f（x） - x） c_ {k，n} \ int_c \ text {co}（f）（x）-f（x）dx $$其中$ \ text {co}（f）$是$ f $的上凸壳。此外，我们显示$ c_ {k，n} = 1-o（\ frac {1} {n}）$ for固定$ k $，并证明了两个不同功能的类似最佳不等式。关键的几何见解是根据$ \ text {co}（f）$接近$ f $的一组点的几何形状，将$ c $ $ c $的多面近似值分解为超图像。
Given a compact convex domain $C\subset \mathbb{R}^k$ and bounded measurable functions $f_1,\ldots,f_n:C\to \mathbb{R}$, define the sup-convolution $(f_1\ast \ldots \ast f_n)(z)$ to be the supremum average value of $f_1(x_1),\ldots,f_n(x_n)$ over all $x_1,\ldots,x_n\in C$ which average to $z$. Continuing the study by Figalli and Jerison and the present authors of linear stability for the Brunn-Minkowski inequality with equal sets, for $k\le 3$ we find the optimal constants $c_{k,n}$ such that $$\int_C f^{\ast n}(x)-f(x) dx \ge c_{k,n}\int_C\text{co}(f)(x)-f(x) dx$$ where $\text{co}(f)$ is the upper convex hull of $f$. Additionally, we show $c_{k,n}=1-O(\frac{1}{n})$ for fixed $k$ and prove an analogous optimal inequality for two distinct functions. The key geometric insight is a decomposition of polytopal approximations of $C$ into hypersimplices according to the geometry of the set of points where $\text{co}(f)$ is close to $f$.
